Podemos subir el fichero desde un gestor de conexiones ftp,pero lo vamos a hacer todo por línea de comandos:

Primero nos posicionamos en la carpeta en la que tenemos el war que queremos deployar:
cd carpeta_del_war

Tras esto nos conectamos con el servidor donde vamos a subir el archivo:
sftp root@miservidor

Ahora estamos conectados al servidor, aśi que sólo queda subir el archivo:
put *.war

Tras esto habremos subido el archivo al servidor y sólo nos queda hacer el deploy correspondiente. Abrimos una sessión de ssh para hacer las acciones en el servidor:

ssh miservidor -l root

Vamos a la carpeta donde se encuentran las aplicaciones:
cd /opt/tomcat/webapps

Borramos la aplicación y el *.war:
rm -fr aplicaciones
rm -f aplicación.war

Movemos el war a esta carpeta:
mv /root/aplicacion.war .

Y ahora reiniciaremos el tomcat para que se pueda hacer el despliegue correctamente:
service tomcat5 restart